在上篇文章《《几何原本》-几何代数的基本原理（1）》中，我向大家介绍了《几何原本》第二卷“几何代数的基本原理”中的14个命题大致讲了些啥，这一讲我正式向大家讲解欧几里得是如何证明这些命题的，特别是其中几个比较知名的代数恒等式的证明：乘法交换律、余弦定理、解一元二次方程的根。

定义1：相邻两边的夹角是直角的平行四边形称为矩形。

定义2：在任何平行四边形中，以该平行四边形的对角线为对角线的一个较小的平行四边形与两个相应的补形构成的图形称为折尺形。

命题1：有两条线段，其中一条被截成若干段，以这两条线段为边的矩形面积等于所有截段与未截的线段所围成的矩形面积之和。

已知线段A、线段BC，点D、E是线段BC上的任意两点。

目标：证明线段A与BC围成的矩形面积等于A与BD、A与DE、A与EC围成的矩形面积之和。

证明：

1、过点B作BF和BC成直角。（第1卷 命题11）

2、在BF上作BG等于已知线段A。（第1卷 命题3）

3、过点G作GH平行BC。（第1卷 命题31）

4、过点D、E、C作DK、EL、CH平行于BG，并分别与直线GH相交于K、L、H。（第1卷 命题31）

5、于是矩形BGHC面积等于矩形BGKD、DKLE、ELHC面积之和。

6、因为BG=已知线段A，所以矩形BGHC面积等于线段A与BC围成的矩形面积。

7、同理，矩形BGKD、DKLE、ELHC面积分别等于线段A与BD、DE、EC围成的矩形面积。

8、所以线段A与BC围成的矩形面积等于A与BD、A与DE、A与EC围成的矩形面积之和。

证明完毕。

说明：这个命题正是小学课本里讲的“乘法分配律”的几何版，用代数表示为：a（b+c+d+...）=ab+ac+ad+...。

（假设线段A=a、BD=b、DE=c、EC=d）

命题2：如果任意截一条线段，则被截线段与原线段所分别构成的矩形的面积的和，等于在原线段上作的正方形的面积。

已知线段AB被任意截取，截点为C。

目标：证明线段AB、AC构成的矩形与线段AB、CB构成的矩形面积之和等于以AB为边的正方形面积。

证明：

1、以AB为边作正方形ADEB。（第1卷 命题46）

2、过点C作CF平行于AD，并与DE相交于F。（第1卷 命题31）

3、于是正方形ADEB面积等于矩形ADFC与CFEB面积之和。

4、因为ADEB是正方形，所以AB=AD=BE。

5、于是矩形ADFC面积等于以线段AB、AC构成的矩形面积，CFEB面积等于线段AB、CB构成的矩形面积。

6、所以线段AB、AC构成的矩形与线段AB、CB构成的矩形面积之和等于以AB为边的正方形面积。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设线段AC=a、CB=b、AB=a+b）

命题3：如果任意截一条线段，则其中一部分线段与原线段围成的矩形面积等于两条所截的线段围成的矩形面积与之前在部分段线段上作的正方形的面积之和。

已知线段AB被任意截取，截点为C。

目标：证明线段AB、BC所构成矩形的面积等于AC、CB所构成的矩形与以BC为边的正方形的面积之和。

证明：

1、以CB为边作正方形CDEB。（第1卷 命题46）

2、延长ED至F、过A作AF平行于CD。（第1卷 命题31）

3、于是矩形AFEB面积等于矩形AFDC与正方形CDEB面积之和。

4、因为CDEB是正方形，所以CB=CD=BE。

5、于是矩形AFEB面积等于以线段AB、CB构成的矩形的面积，AFDC面积等于以线段AC、CB构成的矩形的面积。

6、所以线段AB、BC所构成矩形的面积等于AC、CB所构成的矩形与以BC为边的正方形的面积之和。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：（a+b）a=a*b+a*a。（假设线段AC=b、CB=a、则AB=a+b）

命题4：如果任意截一条线段，则在原线段上作的正方形面积等于截成的各部分线段上的正方形的面积之和加上两个截成的线段构成的矩形面积的二倍。

已知AB被任意截取，截点为C。

目标：证明以AB为边的正方形面积等于以AC、BC为边的正方形面积加上以AC、CB构成的矩形面积的二倍。

证明：

1、以AB为边作正方形ADEB。（第1卷 命题46）

2、连接BD，过点C作CF平行于AD，并与BD、DE相交于G、F。（第1卷 命题31）

3、过点G作HK平行于AB，HK与AD、BE分别相交于H、K。（第1卷 命题31）

4、因为ADEB是正方形，所以AB=AD，角A=角ABE=直角。

5、因为CF平行AD，所以同位角BCG=角A=直角，同位角CGB=角ADB。（第1卷 命题29）

6、又AB=AD，所以角ADB=角CBD。（第1卷 命题5）

7、所以角CGB=角CBD，于是CB=CG。（第1卷 命题6）

8、因为CGKB为平行四边形，所以CB=GK、CG=BK，角BCG=角BKG，角CBK=角CGK。（第1卷 命题34）

9、于是CB=CG=BK=GK，角BCG=角BKG=直角，角ABE=角CBK=角CGK=直角。

10、因此CGKB是正方形，同理HDFG也是正方形。

11、又BD是正方形ADEB的对角线，因此矩形AHGC面积=矩形GFEK面积。（第1卷 命题43）

12、于是正方形ADEB面积=正方形HDFG面积+正方形CGKB面积+2*矩形AHGC面积。

13、又CG=CB，所以以AB为边的正方形面积等于以AC、BC为边的正方形面积加上以AC、CB构成的矩形面积的二倍。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

=

（假设AC=a、CB=b，则AB=a+b）

命题5：如果把一条线段截成相等和不相等的线段，则由两个不相等的线段所构成的矩形面积与两个截点之间的线段上的正方形的面积之和等于原来线段一半上的正方形的面积。

已知点C为线段AB的二等分点，点D将CB分为任意两段。

目标：证明以AD、DB长度构成的矩形面积加上以CD长度构成的正方形面积等于以CB为边的正方形面积。

证明：

1、以CB为边作正方形CEFB。（第1卷 命题46）

2、连接BE，过点D作DG平行于CE。（第1卷 命题31）且DG与BE、EF分别相交于点H、G。

3、过点H作KM平行于AB。（第1卷 命题31）且KM与CE、BF相交于点L、M。

4、过点A作AK平行于CE，并与KM相交于点K。（第1卷 命题31）

5、又BE是正方形CEFB对角线，所以矩形CLHD面积等于矩形HGFM。（第1卷 命题43）

6、又AC=CB,CB=BF，CL=BM=DB，所以矩形AKLC面积等于矩形DGFB面积。

7、两矩形同时加上矩形CEGD，于是折尺形AKLEGD面积等于正方形CEFB面积。

8、于是矩形AKHD面积+正方形LEGH面积=正方形CEFB面积。

9、又DH=DB，CD=LH，所以以AD、DB长度构成的矩形面积加上以CD长度构成的正方形面积等于以CB为边的正方形面积。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AD=a、DB=b，则AB=a+b）

命题6：如果平分一个线段并且在同一线段上加上一个线段，则新组成的线段与后加的线段所构成的矩形面积及原线段一半上的正方形的面积之和等于原线段一半与后加的线段的和上的正方形的面积。

已知点C为线段AB的二等分点，BD是直线AB上新加的线段。

目标：证明以AD、DB长构成的矩形面积与以CB长为边的正方形面积之和等于以CD为边的正方形面积。

证明：

1、以CD为边作正方形CEFD。（第1卷 命题46）

2、连接DE，过点B作BG平行于CE。（第1卷 命题31）且BG与ED、EF相交于点H、G。

3、过点H作KM平行于AB。（第1卷 命题31）且KM与CE、DF相交于点L、M。

4、过点A作AK平行于CE，并与KM相交于点K。（第1卷 命题31）

5、因为AC=CB，所以矩形AKLC面积等于矩形CLHB面积。

6、又DE是正方形CEFD对角线，所以矩形CLHB面积等于矩形HGFM。（第1卷 命题43）

7、于是矩形AKMD面积等于折尺形CLHGFD面积。

8、同时加上正方形LEGH，则矩形AKMD与正方形LEGH面积之和等于正方形CEFD的面积。

9、又BD=DM，LH=CB，所以以AD、DB长构成的矩形面积与以CB长为边的正方形面积之和等于以CD为边的正方形面积。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AC=a、BD=b，则AD=2a+b，CD=a+b）

命题7：如果任意截一个线段，则整个线段上的正方形面积与其中一条小线段上的正方形面积之和等于整线段与该小线段所构成的矩形面积的二倍与另一小线段上正方形面积的和。

已知AB被任意截取，截点为C。

目标：证明以AB为边的正方形面积与以BC为边的正方形面积之和等于以AB、BC边长构成的矩形面积的二倍与以AC为边的正方形面积之和。

证明：

1、以AB为边作正方形ADEB。（第1卷 命题46）

2、连接BD，过点C作CN平行于AD。（第1卷 命题31）且CN与BD、DE相交于点G、N。

3、过点G作HF平行于AB。（第1卷 命题31）且HF与AD、BE相交于点H、F。

4、因为BD是正方形ADEB的对角线，所以矩形AHGC面积=矩形GNEF面积。（第1卷 命题43）

5、同时加上正方形CGFB，于是矩形AHFB面积=矩形CNEB面积。

6、于是折尺形AHGNEB面积+正方形CGFB面积=矩形AHFB面积的两倍。

7、同时加上正方形HDNG，于是正方形ADEB面积+正方形CGFB面积=矩形AHFB面积的两倍+正方形HDNG面积。

8、又BC=BF，HG=AC，所以以AB为边的正方形面积与以BC为边的正方形面积之和等于以AB、BC长度构成的矩形面积的二倍与以AC长度为边长的正方形面积之和。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AC=b、CB=a，则AB=a+b）

命题8：如果任意截一个线段，则用整线段和一个小线段构成的矩形面积的四倍与另一小线段上的正方形的面积之和等于整线段与前一小线段的和上的正方形面积。

已知线段AB被任意截取，截点为C。

目标：证明以AB、BC长度所构成的矩形面积的四倍与以AC长度为边的正方形的面积之和等于边长为AB与BC长度之和的正方形面积。

证明：

1、延长AB至D，使BD=CB。（第1卷 命题3）

2、以AD为边作正方形AEFD。（第1卷 命题46）

3、连接DE，过点B作BL平行AE，分别与DE、EF相交于点K、L。（第1卷 命题31）

4、过点C作CH平行AE，分别与DE、EF相交于点Q、H。（第1卷 命题31）

5、过点K作MN平行于AD，分别与AE、CH、DF相交于点M、G、N。（第1卷 命题31）

6、过点Q作OP平行于AD，分别与AE、BL、DF相交于点O、R、P。（第1卷 命题31）

7、因为AEFD是正方形，所以AE=AD，角A=角ADF=直角。

8、因为BL平行AE，所以同位角DBK=角A=直角，同位角BKD=角AED。（第1卷 命题29）

9、又AE=AD，所以角AED=角BDK。（第1卷 命题5）

10、所以角BKD=角BDK，于是BK=BD。（第1卷 命题6）

11、因为BKND为平行四边形，所以BD=KN、BK=DN，角DBK=角KND，角BDN=角BKN。（第1卷 命题34）

12、于是BD=KN=BK=DN，角DBK=角KND=直角，角BDN=角ADF=角BKN=直角。

13、因此BKND是正方形，同理CGKB、GQRK、KRPN、OEHQ也是正方形。

14、又BD=BC，所以正方形BKND、CGKB、GQRK、KRPN边长相等，面积相等。

15、于是CG=GQ=QR=RP。

16、又OEHQ是正方形，所以OQ=QH。于是矩形AMGC、MOQG、QHLR、RLFP面积相等。

17、于是折尺形AOQHFD面积=（矩形AMGC面积+正方形CGKB面积）*4。

18、同时加上正方形OEHQ，于是正方形AEFD面积=（矩形AMGC面积+正方形CGKB面积）*4+正方形OEHQ面积。

19、又矩形AMKB面积=矩形AMGC面积+正方形CGKB面积，BC=BK，AC=OQ，所以以AB、BC长度所构成的矩形面积的四倍与以AC长度为边的正方形的面积之和等于边长为AB与BC长度之和的正方形面积。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AC=b、CB=a，则AB=a+b）

命题9：如果一条线段既被截成相等的两段，又被截成不相等的两段，则在不相等的各线段上正方形面积之和等于原线段一半上的正方形面积与两个分点之间一线段上正方形面积之和的二倍。

已知线段AB被点C平分，点D为CB上不与点C、D重合的任意一点。

目标：证明以AD、DB为边的正方形面积之和等于以AC、CD为边的正方形面积之和的二倍。

证明：

1、过点C作CE与AB成直角（第1卷 命题11），且CE=AC（第1卷 命题2）。

2、连接EA、EB。

3、过点D作DF平行于EC，并与EB相交于F。（第1卷 命题31）

4、过点F作FG平行于AB，并与EC相交于G。（第1卷 命题31）

5、连接AF。

6、因为CE=CA，所以角CEA=角EAC。（第1卷 命题5）

7、又EC垂直AB，所以角CEA+角EAC=直角（第1卷 命题32），于是角CEA=角EAC=直角一半。

8、同理，角B=角CEB=直角一半，所以角AEB=直角。

9、又FG平行于AB，所以同位角EFG=角B。（第1卷 命题29）

10、又FD平行于EC，所以同位角DFB=角CEB，同位角FDB=角ECB=直角。（第1卷 命题29）

11、于是角B=角CEB=角EFG=角DFB=直角一半，因此EG=GF，FD=DB。（第1卷 命题6）

12、在直角三角形ACE中，AE*AE=AC*AC+CE*CE=2AC*AC。（第1卷 命题47）

13、在直角三角形EGF中，EF*EF=EG*EG+GF*GF=2GF*GF。（第1卷 命题47）

14、又在平行四边形GCDF中，GF=CD（第1卷 命题34），所以EF*EF=2CD*CD。

15、在直角三角形AEF中，AF*AF=AE*AE+EF*EF（第1卷 命题47），所以AF*AF=2AC*AC+2CD*CD。

16、在直角三角形ADF中，AF*AF=AD*AD+DF*DF。（第1卷 命题47）

17、又DF=DB，所以AD*AD+DB*DB=2AC*AC+2CD*CD。

18、因此以AD、DB为边的正方形面积之和等于以AC、CD为边的正方形面积之和的二倍。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AD=a、DB=b，则AC=（a+b）/2，CD=（a+b）/2-b）

命题10：如果二等分一条线段，且在同一直线上再给原线段添加上一条线段，则合成线段上的正方形面积与添加线段上的正方形面积之和等于原线段一半上的正方形面积与原线段的一半加上后加的线段之和上的正方形面积之和的二倍。

已知线段AB被点C二等分，延长AB至D。

目标：证明以AD、DB为边的正方形面积之和等于以AC、CD为边的正方形面积之和的二倍。

证明：

1、过点C作CE与AB成直角（第1卷 命题11），且CE=AC（第1卷 命题2）。

2、连接EA、EB。

3、过点E作EF平行于AD，过点D作FD平行于CE（第1卷 命题31），且DF、EF相交于F。

4、延长FD、EB，使之相交于点G，连接AG。

5、因为AC=CE，角ECA是直角，所以角EAC=角AEC=直角一半。（第1卷 命题5）

6、同理，角CEB=角EBC=直角一半，于是角AEB为直角。

7、因为CE平行GF，所以角CEB=角EGF，角BDG=角ECB=直角。（第1卷 命题29）

8、因为CD平行EF，所以角CBE=角GEF，角DBG=角FEG（第1卷 命题29）

9、因此角BGD=角DGB，角DGB=角FEG,于是BD=DG，EF=FG。（第1卷 命题6）

10、又EF平行AD，EC平行FG，所以ECDF是平行四边形，所以角F=角ECD=直角，EF=CD。（第1卷 命题34）

11、在直角三角形ACE中，AE*AE=AC*AC+CE*CE。（第1卷 命题47）

12、在直角三角形EFG中，EG*EG=EF*EF+FG*FG。（第1卷 命题47）

13、在直角三角形AEG中，AG*AG=AE*AE+EG*EG。（第1卷 命题47）

14、在直角三角形ADG中，AG*AG=AD*AD+DG*DG。（第1卷 命题47）

15、因此AD*AD+DG*DG=（AC*AC+CE*CE）+（EF*EF+FG*FG）。

16、又AC=CE，EF=FG=CD，DG=BD，于是AD*AD+BD*BD=2AC*AC+2CD*CD。

17、因此以AD、DB为边的正方形面积之和等于以AC、CD为边的正方形面积之和的二倍。

证明完毕。

说明：该命题是代数恒等式的几何版，用代数表示为：

（假设AC=a、BD=b，则AD=2a+b，CD=a+b）

命题11：分割一已知线段，使整段与其中一分段所构成矩形的面积等于另一分段上正方形的面积。

已知AB为已知线段。

目标：在AB上取一点H，使AB与BH所构成的矩形面积等于以AH为边的正方形面积。

证明：

1、以AB为边作正方形ACDB。（第1卷 命题46）

2、作线段AC的二等分点E（第1卷 命题10），连接EB。

3、延长CA至F，使EF=EB。（第1卷 命题3）

4、以AF为边作正方形AHGF。（第1卷 命题46）

5、延长GH与CD相交于点K。

6、由命题6的结论可得：CF*AF+AE*AE=EF*EF。（第2卷 命题6）

7、又EF=EB，所以CF*AF+AE*AE=EB*EB。

8、在直角三角形EAB中，BA*BA+AE*AE=EB*EB。

9、所以CF*AF=BA*BA，即矩形FCKG面积=正方形ACDB面积。

10、同时减去矩形ACKH面积，于是正方形FAHG面积=矩形HKDB面积。

11、于是AH*AH=HB*BD，又BD=AB，于是AH*AH=AB*HB。

12、因此AB与BH所构成的矩形面积等于以AH为边的正方形面积。

说明：该命题的意义在于，如果让AB=a，AH=x，则HB=a-x。于是x*x=a*（a-x），即得到一元二次方程x*x+ax=a*a。AH相当于该一元二次方程的根，欧几里得用作图的方式，在本命题中画出了该方程的一个根（AH）。

命题12：在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形面积比夹钝角的两边上的正方形面积的和大一个矩形面积的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一段所构成的矩形。

已知三角形ABC是钝角三角形，角BAC是钝角，过点B作CA延长线的垂线BD，两线段相交于点D。

目标：证明以BC为边的正方形面积比以BA、AC为边的正方形面积之和大，大出来的面积为以CA、AD长度为边构成的矩形面积的二倍。

证明：

1、由命题4的结论可得：DC*DC=DA*DA+AC*AC+2DA*AC。（第2卷 命题4）

2、等式两边同时加上DB*DB，于是DB*DB+DC*DC=DA*DA+AC*AC+2DA*AC+DB*DB。

3、在直角三角形BDC中，BC*BC=DB*DB+DC*DC。（第1卷 命题47）

4、在直角三角形BDA中，DA*DA+DB*DB=AB*AB。（第1卷 命题47）

5、于是BC*BC=AB*AB+AC*AC+2DA*AC。

证明完毕。

说明：该命题是著名的余弦定理公式，用代数表示为：

(因为cosBAC=-AD/AB)

命题13：在锐角三角形中，一个锐角对边上的正方形比夹锐角两边上的正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角顶点的线段与垂足所在边所构成的矩形。

已知ABC是锐角三角形，过点A作BC的垂线AD。

目标：以AB为边的正方形面积比以AC、BC为边的正方形面积小，小出来的面积为以BC、DC长度为边的矩形面积的二倍。

证明：

1、由命题7的结论可得：BC*BC+DC*DC=2BC*DC+BD*BD。（第2卷 命题7）

2、两边同时加上AD*AD，于是BC*BC+DC*DC+AD*AD=2BC*DC+BD*BD+AD*AD。

3、在直角三角形ABD中，AB*AB=BD*BD+AD*AD。（第1卷 命题47）

4、在直角三角形ADC中，AC*AC=DC*DC+AD*AD。（第1卷 命题47）

4、于是，BC*BC+AC*AC=AB*AB+2BC*DC。

5、两边同时减2BC*DC，于是AB*AB=BC*BC+AC*AC-2BC*DC。

6、因此以AB为边的正方形面积比以AC、BC为边的正方形面积小，小出来的面积为以BC、DC长度为边的矩形面积的二倍。

证明完毕。

说明：该命题是著名的余弦定理公式，用代数表示为：

(因为cosACB=CD/AC)

命题14：作一个正方形面积等于给定的直线形面积。

已知A为给定的直线图形。

目标：作一个正方形面积等于给定直线图形A的面积。

证明：

1、作矩形BCDE面积等于给定直线图形A的面积。（第1卷 命题45）

2、如果BE=ED，则矩形BCDE是正方形，即所要求作的图形。

3、如果BE不等于ED，假设BE>ED。

4、延长BE至F，使EF=ED。（第1卷 命题3）

5、作BF的二等分点G。（第1卷 命题10）

6、以点G为圆心，以GB为半径作半圆BHF。

7、延长DE与半圆BHF相交于H，连接GH。

8、由命题5的结论可得：BE*EF+GE*GE=GF*GF。（第2卷 命题5）

9、又GF=GH，所以BE*EF+GE*GE=GH*GH。

10、在直角三角形GEH中，GE*GE+HE*HE=GH*GH。（第1卷 命题47）

11、于是BE*EF=HE*HE。

12、又EF=ED，所以BE*ED=HE*HE。

13、于是矩形BCDE面积等于以HE为边的正方形面积。

14、又矩形BCDE面积=直线图形A的面积，因此正方形面积等于给定直线图形A的面积。

证明完毕。

从前面10个代数恒等式命题的证明过程中，我们能感受到，虽然用几何图形能表达出代数恒等式，但在证明上却很繁琐，不如代数式直接展开来得直观简洁。这也是第一次数学危机以后，古希腊人“放弃”代数的不利影响。

好了，这一讲就到这里了，下一讲，我们开始学习《几何原本》第三卷与圆有关的内容。

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