题目：如图，CN是等边三角形ABC外角内部的一条射线，点C关于CN的对称点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P。

（1）依据题意补全图形

（2）若∠ACN=α，则∠BDC的大小（用含α的式子表示）

（3）用等式表示线段PB,PC与PE之间的数量关系，并证明。

解答：

(1)根据题意补全图形如下：

(2)∵D为A点关于CN的对称点，

∴CN垂直平分AD

∴AC=CD，∠ACN=∠DCN=∠α

∵等边三角形ABC

∴AB=AC

∴BC=CD

∴∠CBD=∠BDC

∵∠CBD+∠BDC=（180°-60°-∠ACN-∠DCN）=120°-2α

∴∠BDC=60°-α

（3）求解三条线段之间数量关系，一般情况会从最长的线段中截取与其中一条线段相等，求证剩余部分与另一条线段相等或者其他的数量关系，本题通过第2小题中我们会发现∠BPC为60°角，我们就可以直接以∠BPC为顶角，截取PH=PC，此时问题就转化为求证BH和PE的数量关系，观察BH和PE，可以大胆猜测BH=2PE，又因为PE在直角三角形PDE中，且∠EDP=30°，我们就可以得出PD=2PE，这样我们的问题就可以转化成求证BH=PD，此时就可以考虑证全等得对应边相等来解决问题。

方法2：等线段共端点，构造手拉手模型

∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α

∴∠HPC=60°

截取在BP上截取PH，使得PH=PC

∴△PHC为等边三角形

∴∠PCH=60°

∴∠ACB-∠ACH=∠PCH-∠ACH

∴∠BCH=∠PCA

在△BHC和△APC中

BC=AC

∠BCH=∠PCA

CH=PC

∴△BHC ≌ △APC（SAS）

∴BD=AP

在直角△PED中，

∵∠PED=∠HPC=60°

∴∠APE=∠EDP=30°

∴AP=2PE（直角三角形30°所对的边的长度是斜边的一半）

∴BP=BH+PH=AP+PC=2PE+PC

方法2：对称法

∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α

∴∠HPC=60°

截取在BP上截取PH，使得PH=PC

∴△PHC为等边三角形

∴∠PHC=∠HPC

∴∠BHC=∠CPD

在△BHC和△DPC中

∠HBC=∠PDC

∠BHC=∠CPD

BC=CD

∴△BHC ≌ △DPC（AAS）

∴BH=PD

在直角△PED中，

∵∠PED=∠HPC=60°

∴∠EDP=30°

∴PD=2PE（直角三角形30°所对的边的长度是斜边的一半）

∴BP=BH+PH=PD+PC=2PE+PC

通过本题，我们掌握孩子们初步感知求证三条线段之间数量关系的解题策略，截取等线段，求证剩余部分与第三条线段之间的数量关系。其次当出现等线段共端点时，考虑构造旋转全等来解决问题。

上期练习课内容：

初二几何专题辅导练习课01

初二几何专题辅导练习课02

初中几何专题辅导练习课03

初中几何专题辅导练习课04

初中几何专题辅导练习课05

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本文作者：果爸，典型的闽南人，大学毕业后不务正业进入培训圈，从事一线教学和教研工作，创过业带过团队，现在二次创业中，有兴趣的朋友可以多多关注！本文首发于幼儿数学思维，转载请联系原作者。