昨天在小伙伴们的群里讨论了一道数学题，1和0.9的无限循环哪个大？学过高等数学的人都知道，这是一个求极限的问题：毫无疑问，0.9的无限循环就等于1。然而学物理的老郭并不这么认为，在老郭看来：0.9的无限循环就是0.9的无限循环，可以无限接近于1，但是并不等于1，它们之间有着本质性的区别。这是客观性所决定的，这一点点的区别决定着是科学还是谬误。

图1 数学上是 0.9的无限循环等于1

让我们来看一下在物理学家眼中0.9的无限循环和1的本质性不同都有哪些：

一、无限的意义是什么？

0.9的无限循环真的可以吗？如果让一个数学家去回答这个问题，答案当然就是肯定的，这没毛病。然后把这个问题抛给一个物理学家去回答的话，物理学家会陷入沉思，并且告诉你，这需要通过实验去验证。

物理学家得到的结论是，在目前的理论框架下，0.9不能无限循环，因为时空是有最小单位的，那就是普朗克时间和普朗克长度。我们这里不去讨论普朗克时间和普朗克长度的来源，因为这涉及到了引力量子化和大统一理论，目前也只是一个半经典的方程。

在物理学中，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相等的，0.9的循环小于1。

图2 无限多面镜子的影像

二、有质量的物质的运动速度不能达到光速

高中物理课上，我们都接触过狭义相对论中的洛伦兹协变公式。在质速方程式中我们可以看到，任何一个有质量的物体，如果速度被加速到接近光速，那么它的质量将变得无穷大。我们当然是没有那么多的能量能办到这种事。如果把光速看做是1的话，即使是一个电子我们也只能是把它加速到0.9的无限循环，但永远都不可能等于1,。因为，这要消耗掉整个宇宙的能量。所以1和0.9的循环有着本质的区别。

图3 大型粒子加速器

三、0.9无限循环不能等于1关乎着宇宙是开放还是闭合

如果我们把0.9的无限循环看做是我们现在这个宇宙的曲率，那么即使它是无限接近于1的，也意味着，我们的这个宇宙是个封闭的宇宙。当宇宙的曲率等于一时，我们就是一个平坦的开放的宇宙。这是完全不同的两种情况。数学家不应该让0.9的无限循环等于1。

四、概率统计中的问题

关于无限小是不是有意义的问题也引起了一大批统计学家的关注，今年年初三位统计学家联名发在《自然》杂志上发表了一封公开信，质疑了统计学课本中写到的：“没有统计显著性则不能‘证明’零假设（关于两组之间无差或者两个实验组和对照组的假设）。同时，统计显著性也不能‘证明’其他假设。”。他们表示，这种误解用夸大的观点扭曲了文献，而且导致了一些研究之间的冲突。这一质疑迅速得到了，超过800名科学家的支持。

图4 大数据与统计学

《自然》杂志连续刊发了超过40篇论文都是关于：“21世纪统计推断：P＜0.05以外的世界”的学术论文。这三位科学家指出，他们并不是要禁止P值的使用，而是提议在常规的二分法的情况下不使用P值来决定一个结果是否反驳一个科学假设。其实如果让0.9的无限循环等于1，相当于在数学上正是否定了0.1的无限次方这个无穷小量的真正意义。

五、数学家的争议

写到这里，可能有些学数学的小伙伴已经看明白了，这其实就是数学上所谓的第二次数学危机的问题。早在公元前450年，芝诺就注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论。到了17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。

图5 集合论的问题

直到19世纪20年代，威尔斯特拉斯在前人工作的基础上，消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。然而关于无穷小量的争议并没有因此就结束，关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。

图6 阿克克琉斯追不上乌龟

总结

通过前面的分析我们看到，物理学上的0.9无限循环小数和1之间有着本质性的区别，无穷小量有它特殊存在的意义，它的价值和前面的0.9无限循环并没有什么不同。其实本文并不是一个简单的0.9的无限循环是否等于1这个问题的争论，我想说明的问题是：如果我们不能给数学赋予一定的意义，那么数学存在的意义是什么？科学向来讲究的是求真、求实，向客观存在探讨真理是科学的本质。希望有一天科学家能够找到最终答案，在0.9的无限循环这个问题面前不再彷徨。

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